Moving Average Notation

Panduan Ilmuwan dan Insinyur untuk Pengolahan Sinyal Digital Oleh Steven W. Smith, Ph. D. Bab 8: Notasi Transformasi Fourier Diskrit dan Format DFT Nyata Seperti ditunjukkan pada Gambar. 8-3, transformasi Fourier diskrit mengubah sinyal masukan titik N menjadi dua sinyal keluaran titik. Sinyal masukan berisi sinyal yang didekomposisi, sedangkan dua sinyal keluaran mengandung amplitudo komponen sinus dan gelombang kosinus (diskalakan dengan cara yang akan kita diskusikan segera). Sinyal input dikatakan berada dalam domain waktu. Ini karena jenis sinyal yang paling umum masuk ke DFT terdiri dari sampel yang diambil pada interval waktu tertentu. Tentu saja, semua jenis data sampel dapat dimasukkan ke dalam DFT, terlepas dari bagaimana hal itu diperoleh. Bila Anda melihat istilah domain waktu dalam analisis Fourier, ini mungkin benar-benar merujuk pada sampel yang diambil dari waktu ke waktu, atau mungkin referensi umum untuk sinyal diskrit apa pun yang sedang didekomposisi. Istilah domain frekuensi digunakan untuk menggambarkan amplitudo gelombang sinus dan kosinus (termasuk skala khusus yang ingin kita jelaskan). Domain frekuensi berisi informasi yang sama persis dengan domain waktu, hanya dalam bentuk yang berbeda. Jika Anda mengenal satu domain, Anda bisa menghitung yang lain. Dengan adanya sinyal domain waktu, proses penghitungan domain frekuensi disebut dekomposisi. Analisis, DFT ke depan, atau sederhana, DFT. Jika Anda tahu domain frekuensi, perhitungan domain waktu disebut sintesis. Atau DFT terbalik. Baik sintesis maupun analisis dapat diwakili dalam bentuk persamaan dan algoritma komputer. Jumlah sampel dalam domain waktu biasanya diwakili oleh variabel N. Sementara N dapat berupa bilangan bulat positif, dua kekuatan biasanya dipilih, yaitu 128, 256, 512, 1024, dsb. Ada dua alasan untuk ini. Pertama, penyimpanan data digital menggunakan pengalamatan biner, membuat kekuatan dua panjang sinyal alami. Kedua, algoritma yang paling efisien untuk menghitung DFT, Fast Fourier Transform (FFT), biasanya beroperasi dengan N yaitu kekuatan dua. Biasanya, N dipilih antara 32 dan 4096. Dalam kebanyakan kasus, sampel dijalankan dari 0 sampai N -1, bukan 1 sampai N. Notasi DSP standar menggunakan huruf kecil untuk mewakili sinyal domain waktu, seperti x, y, dan z. Huruf besar yang sesuai digunakan untuk mewakili domain frekuensi mereka, yaitu X, Y, dan Z. Sebagai ilustrasi, asumsikan sinyal domain N titik waktu terkandung di x n. Domain frekuensi dari sinyal ini disebut X, dan terdiri dari dua bagian, masing-masing susunan sampel N 2 1. Ini disebut bagian Real X. Ditulis sebagai: ReX. Dan bagian Imajiner dari X. Ditulis sebagai: ImX. Nilai-nilai di ReX adalah amplitudo gelombang kosinus, sedangkan nilai-nilai di ImX adalah amplitudo gelombang sinus (tidak mengkhawatirkan faktor penskalaan untuk saat ini). Sama seperti domain waktu berjalan dari x n ke x N -1, sinyal domain frekuensi dijalankan dari ReX 0 sampai ReX N 2, dan dari ImX 0 ke ImX N 2. Pelajari notasi ini dengan saksama mereka sangat penting untuk memahami persamaan dalam DSP. Sayangnya, beberapa bahasa komputer tidak membedakan antara huruf kecil dan huruf besar, membuat nama variabel sampai ke pemrogram individual. Program dalam buku ini menggunakan array XX untuk menahan sinyal domain waktu, dan array REX dan IMX untuk menahan sinyal domain frekuensi. Nama bagian sebenarnya dan bagian imajiner berasal dari DFT kompleks, di mana mereka terbiasa membedakan antara bilangan real dan imajiner. Tidak ada yang rumit untuk DFT sebenarnya. Sampai Anda sampai di Bab 29, anggap bagian sebenarnya berarti amplitudo gelombang kosinus, sedangkan bagian imajiner berarti amplitudo gelombang sinus. Jangan biarkan nama sugestif ini menyesatkan Anda semua di sini menggunakan angka biasa. Demikian juga, jangan disesatkan oleh lamanya sinyal domain frekuensi. Adalah umum dalam literatur DSP untuk melihat pernyataan seperti: DFT mengubah sinyal domain N titik waktu menjadi sinyal domain frekuensi N titik. Ini mengacu pada kompleks DFT. Dimana setiap titik adalah bilangan kompleks (terdiri dari bagian nyata dan imajiner). Untuk saat ini, fokus pada pembelajaran DFT yang sesungguhnya, matematika yang sulit akan segera datang. Ilmuwan dan Insinyur Panduan untuk Pengolahan Sinyal Digital Oleh Steven W. Smith, Ph. D. Bab 8: Transformasi Fourier Diskrit Seperti yang telah dijelaskan sejauh ini, domain frekuensi adalah sekelompok amplitudo gelombang kosinus dan sinus (dengan sedikit modifikasi skala). Ini disebut notasi persegi panjang. Sebagai alternatif, domain frekuensi dapat dinyatakan dalam bentuk polar. Dalam notasi ini, ReX ImX diganti dengan dua susunan lainnya, disebut Magnitude of X. Ditulis dalam persamaan sebagai: Mag X, dan Fase X. Ditulis sebagai: Tahap X. Besar dan fasa adalah pasangan pasangan pasangan untuk bagian nyata dan imajiner. Sebagai contoh, Mag X 0 dan Phase X 0 dihitung hanya dengan menggunakan ReX 0 dan ImX 0. Demikian juga, Mag X 14 dan Phase X 14 dihitung hanya dengan menggunakan ReX 14 dan ImX 14, dan seterusnya. Untuk memahami konversi, pertimbangkan apa yang terjadi saat Anda menambahkan gelombang kosinus dan gelombang sinus dengan frekuensi yang sama. Hasilnya adalah gelombang kosinus dengan frekuensi yang sama, namun dengan amplitudo dan pergeseran fasa yang baru. Dalam bentuk persamaan, dua representasi saling terkait: Yang penting adalah bahwa tidak ada informasi yang hilang dalam proses ini mengingat satu representasi Anda dapat menghitung yang lain. Dengan kata lain, informasi yang terkandung dalam amplitudo A dan B. Juga terkandung dalam variabel M dan 952. Meskipun persamaan ini melibatkan gelombang sinus dan kosinus, ia mengikuti persamaan konversi yang sama seperti vektor sederhana. Gambar 8-9 menunjukkan representasi vektor analog dari bagaimana dua variabel, A dan B. Dapat dilihat dalam sistem koordinat empat persegi panjang, sedangkan M dan 952 adalah parameter dalam koordinat polar. Pada notasi polar, Mag X memegang amplitudo gelombang kosinus (M pada Persamaan 8-4 dan Gambar 8-9), sedangkan Phase X memegang sudut fase gelombang kosinus (952 pada Persamaan 8-4 dan Gambar 8-9). Persamaan berikut mengubah domain frekuensi dari notasi persegi ke polar, dan sebaliknya: Notasi rectangular dan polar memungkinkan Anda memikirkan DFT dengan dua cara yang berbeda. Dengan notasi persegi panjang, DFT menguraikan sinyal N titik menjadi gelombang kosinus N 2 1 dan gelombang sinus N 2 1, masing-masing dengan amplitudo yang ditentukan. Dalam notasi kutub, DFT menguraikan sinyal N titik menjadi gelombang kosinus N 2 1, masing-masing dengan amplitudo tertentu (disebut magnitudo) dan pergeseran fasa. Mengapa notasi kutub menggunakan gelombang kosinus daripada gelombang sinus Gelombang sinus tidak dapat mewakili komponen sinyal DC, karena gelombang sinus frekuensi nol terdiri dari semua angka nol (lihat Gambar 8-5 aampb). Meskipun representasi polar dan persegi panjang berisi informasi yang sama persis, ada banyak contoh di mana orang lebih mudah menggunakannya. Misalnya, Gambar. 8-10 menunjukkan sinyal domain frekuensi dalam bentuk empat persegi panjang dan polar. Peringatan: Jangan mencoba memahami bentuk bagian nyata dan imajiner yang akan meledak kepala Anda. Sebagai perbandingan, kurva polar lurus: hanya frekuensi di bawah sekitar 0,25 yang hadir, dan pergeseran fasa kira-kira sebanding dengan frekuensi. Ini adalah respons frekuensi filter low-pass. Kapan sebaiknya Anda menggunakan notasi persegi panjang dan kapan sebaiknya Anda menggunakan notasi Rectangular polar biasanya merupakan pilihan terbaik untuk perhitungan, seperti pada persamaan dan program komputer. Sebagai perbandingan, grafik hampir selalu berbentuk polar. Seperti yang ditunjukkan oleh contoh sebelumnya, hampir tidak mungkin bagi manusia untuk memahami karakteristik sinyal domain frekuensi dengan melihat bagian nyata dan imajiner. Dalam program yang khas, sinyal domain frekuensi disimpan dalam notasi persegi panjang sampai seorang pengamat perlu melihatnya, pada saat konversi persegi-ke-kutub dilakukan. Mengapa lebih mudah untuk memahami domain frekuensi di notasi polar Pertanyaan ini masuk ke jantung mengapa membusuk sinyal menjadi sinusoid berguna. Ingat kembali properti kesetiaan sinusoidal dari Bab 5: Jika sinusoid memasuki sistem linier, output juga akan menjadi sinusoid, dan pada frekuensi yang sama persis dengan input. Hanya amplitudo dan fasa yang bisa berubah. Notasi kutub secara langsung mewakili sinyal dalam bentuk amplitudo dan fase gelombang kosinus komponen. Pada gilirannya, sistem dapat diwakili oleh bagaimana mereka memodifikasi amplitudo dan fase masing-masing gelombang kosinus ini. Sekarang perhatikan apa yang terjadi jika notasi persegi panjang digunakan dengan skenario ini. Campuran gelombang kosinus dan sinus memasuki sistem linier, menghasilkan campuran kosinus dan gelombang sinus yang meninggalkan sistem. Masalahnya, gelombang kosinus pada input dapat menyebabkan gelombang kosinus dan sinus pada output. Demikian juga, gelombang sinus pada input dapat menghasilkan gelombang kosinus dan sinus pada output. Sementara cross-terms ini dapat diluruskan, metode keseluruhan tidak sesuai dengan mengapa kita ingin menggunakan sinusoid di tempat pertama. Rata-rata Tingkat Perubahan Fungsi Instruktur: Dr. Jo Steig DEFINISI: Suatu fungsi adalah proses dimana setiap masukan dilakukan. Terkait dengan tepat satu output. Saat membuat proses (atau serangkaian langkah) untuk melakukan tugas tertentu kita sering membuat fungsi. Jika kita ingin menggunakannya lagi dan lagi, untuk membuat hidup kita lebih mudah, kita berikan sebuah nama. Ini membantu kita mengingat nama ketika ada hubungannya dengan proses yang sedang dideskripsikan. Fungsi Average Rate of Change menggambarkan tingkat rata-rata di mana satu quanity berubah sehubungan dengan perubahan lain. Anda sudah terbiasa dengan beberapa perhitungan perubahan tingkat rata-rata: (a) Miles per galon - dihitung dengan membagi jumlah mil dengan jumlah galon yang digunakan (b) Biaya per killowatt - dihitung dengan membagi biaya listrik dengan jumlah Dari killowatts yang digunakan (c) Miles per jam - dihitung dengan membagi numebr mil yang ditempuh dengan jumlah jam yang diperlukan untuk perjalanan mereka. Secara umum, tingkat rata-rata fungsi perubahan adalah proses yang menghitung jumlah perubahan pada satu item dibagi dengan jumlah perubahan yang sesuai pada yang lain. Dengan menggunakan notasi fungsi, kita dapat menentukan tingkat rata-rata Perubahan fungsi f dari a ke x sebagai A adalah nama dari tingkat perubahan fungsi rata-rata ini x - a mewakili perubahan input fungsi ff (x) - f (A) mewakili perubahan fungsi f sebagai perubahan masukan dari a ke x Anda mungkin telah memperhatikan bahwa fungsi Average Rate of Change sangat mirip dengan formula untuk kemiringan garis. Sebenarnya, jika Anda mengambil dua titik berbeda pada kurva, (x 1, y 1) dan (x 2, y 2), kemiringan garis yang menghubungkan titik-titik tersebut akan menjadi tingkat perubahan rata-rata dari x 1 sampai x 2 Contoh 1: Tentukan kemiringan garis yang melewati kurva sebagai x perubahan dari 3 menjadi 0. Langkah 1: f (3) -1 dan f (0) -4 Langkah 2: Gunakan rumus kemiringan untuk membuat rasio Langkah 3: Sederhanakan. Langkah 4: Jadi kemiringan garis melewati kurva karena x perubahan dari 3 menjadi 0 adalah 1. Contoh 2: Carilah tingkat perubahan rata-rata dari 3 menjadi 0. Karena tingkat rata-rata perubahan fungsi adalah kemiringan Dari garis terkait kita telah melakukan pekerjaan dalam masalah terakhir. Artinya, rata-rata tingkat perubahan dari 3 menjadi 0 adalah 1. Artinya, selama interval 0,3, untuk setiap perubahan 1 unit x, terjadi perubahan 1 unit pada nilai fungsi. Berikut adalah grafik fungsi, dua titik yang digunakan, dan garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Sekarang anggaplah Anda perlu menemukan rangkaian lereng garis yang melewati kurva dan titik (3, f (3)) namun titik lainnya terus bergerak. Kita akan memanggil titik kedua (x, f (x)). Ini akan berguna untuk memiliki sebuah proses (fungsi) yang akan melakukan hal itu untuk kita. Tingkat rata-rata fungsi perubahan juga menentukan kemiringan sehingga prosesnya adalah apa yang akan kita gunakan. Contoh 3: Temukan rata-rata tingkat perubahan fungsi dari 3 sampai x. Langkah 2: Gunakan rumus rata-rata perubahan untuk menentukan A (x) dan sederhanakan. Langkah 3: Fungsi tingkat rata-rata perubahan dari 3 sampai x adalah Contoh 4: Gunakan hasil Contoh 3 untuk menemukan tingkat perubahan rata-rata dari 3 sampai 6. Solusi: Tingkat rata-rata perubahan dari 3 sampai x Jadi, tingkat perubahan rata-rata dari 3 sampai 6 adalah A (6) 93 3. Contoh 5: Gunakan hasil Contoh 3 untuk menemukan tingkat perubahan rata-rata dari 3 sampai 0. Tingkat perubahan rata-rata dari 3 sampai 0 adalah A (0) 33 1. copy 2009 Jo Steig